Умерла единственная получившая Филдсовскую премию женщина-математик

Мариам Мирзахани

Мариам Мирзахани

Иранский математик и единственная женщина, получившая Филдсовскую премию, Мариам Мирзахани скончалась в возрасте 40 лет в Стэнфорде. Об этом в субботу, 15 июля, сообщает издание Tehran Times.

Причиной смерти, вероятно, стал рак груди, который обнаружили у Мирзахани четыре года назад. В последнее время она лежала в больнице, так как ее состояние значительно ухудшилось.

Математику вручили престижную международную награду в 2014 году. Ее отметили с формулировкой «за выдающийся вклад в динамику и геометрию римановых поверхностей и в теорию пространств их модулей». Премию присуждают раз в четыре года ученым не старше 40 лет.

В 1999 году Мирзахани переехала в США. Через пять лет она получила докторскую степень в Гарвардском университете, а еще через четыре года стала профессором Стэнфордского университета.

Среди других достижений математика — премия Блюменталя Американского математического общества (2009), награда имени Руфь Саттер (2013) и приз Математического института Клэя (2014).

***

В 1977 году в Тегеране родилась девочка по имени Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani). Когда она пошла в школу, с математикой у нее не ладилось. Говорили, что у Мариам не было таланта. Но ей казалось, что талант у нее был, и она принялась усиленно заниматься.

Важно напомнить, что всего через два года после рождения Мариам в Иране произошла революция, монархия была свергнута и провозглашена Исламская республика. Как следствие, например, женщинам нельзя было появляться в публичных местах с непокрытой головой. Носила платок и Мариам.

Так вот, Мариам усиленно занималась и очень скоро оказалась в школе Фарзанеган для одаренных девочек. В Иране с самого начала очень серьезно относились к образованию вообще. И там, в этой школе, с нормальными учителями, выяснилось, что в математике Мариам — гений.

Точнее, как минимум, очень одаренный ребенок. Настолько одаренный, что в 1994 году она стала первым иранским школьником, взявшим золотую медаль на Международной математической олимпиаде. А в 1995 году взяла вторую золотую медаль, решив все задачи на максимальное число баллов.

Нет ничего удивительного, что после такого успеха Мариам легко поступила в Технологический университет имени Шарифа — главное и самое престижное учебное заведение Ирана. Затем было много всего интересного: в 1998 году она пережила аварию автобуса, в которой погибло семеро ее коллег-математиков, одних из лучших в стране. В 1999 году Мирзахани получила степень бакалавра в своем университете и отправилась в Гарвард, где в 2004-м защитила диссертацию.

Диссертация Мирзахани была посвящена любопытному вопросу, связанному с геометрией так называемых гиперболических пространств и их геодезическими. Что такое геодезические? Это аналоги прямых на поверхностях. Прямая в привычной нам геометрии реализует минимум расстояния между двумя точками. То же самое делает геодезическая, правда, если эти две точки расположены достаточно близко.

В общем виде такая кривая задается системой дифференциальных уравнений второго порядка, поэтому между далекими точками может быть не одна геодезическая, а несколько.

Представим себе сферу. На ней решением уравнений геодезических являются большие круги, то есть круги, полученные пересечением сферы с плоскостью, проходящей через ее центр. Если взять два полюса сферы, то между ними существует бесконечное количество геодезических. Легко видеть, что все геодезические на сфере замкнуты и имеют одну длину.

Геодезические на сфере

Если сферу начать мять, то замкнутых геодезических будет становиться все меньше и меньше. Геодезические станут портиться: некоторые перестанут быть замкнутыми, а некоторые начнут самопересекаться. Нас интересует вопрос: сколько геодезических выживет? Знаменитая теорема о трех геодезических говорит, что (как следует из названия) выживут три. То есть на любой топологической сфере есть как минимум три геодезические, которые замкнуты и не имеют самопересечений.

Ситуация поменяется, если мы будем говорить о гиперболических поверхностях. Эти поверхности, локально устроенные как гиперболоид (использованный, например, в конструкции Шуховской башни или градирни ТЭЦ), то есть, относительно касательной плоскости, по одному направлению выгнутые ниже плоскости, а по другому — выше.

Гиперболоид

Оказалось, что на достаточно хороших (математики говорят компактных) поверхностях такого рода число замкнутых геодезических без самопересечений бесконечно. Но, при этом, они все не просто имеют разную длину — для любого числа $L$ существует конечное число замкнутых геодезических с длиной не больше $L$.

Так вот, Мирзахани показала, что число таких геодезических растет как $L^k$, где $k = 6g - 6$. Тут $g$ означает род поверхности (количество приклеенных к сфере ручек, если кто знаком с такой терминологией). Важно, что для доказательства этой теоремы она воспользовалась методом, который никто в этой области до нее не применял.

Метод оказался настолько успешен, что в 2014 году Мариам стала первой в мире женщиной, получившей Филдсовскую медаль — пожалуй, самую престижную награду в математике.

Мариам Мирзахани умерла 14 июля 2017 года, после почти четырехлетней борьбы с раком. В этот день многие государственные газеты Ирана нарушили табу на изображение женщины без головного убора: они опубликовали фото Мариам на первых страницах.

Это важное событие для Ирана — не только дань памяти выдающемуся математику и человеку, служившему символом национальной гордости (пусть Мариам Мирзахани давно проживала в Америке, президент Ирана публично выразил «глубокую скорбь и печаль» в связи с ее смертью). Речь еще идет о примере, который Мариам показывала как иранским ученым, так и простым людям, в частности женщинам, — чего может добиться человек собственным умом и собственной настойчивостью.

***

Гипотеза Виттена (1991) утверждает эквивалентность двух моделей двумерной квантовой гравитации. С математической точки зрения, она означает, что производящая функция для индексов пересечений характеристических классов некоторых специальных линейных расслоений над пространствами модулей комплексных кривых с отмеченными точками является решением уравнения Кортевега–де Фриза (или, эквивалентно, всей иерархии уравнений КдФ). Уравнение КдФ можно понимать как рекуррентное соотношение на индексы пересечения. Известные к настоящему времени доказательства этой гипотезы используют либо гиперболическую геометрию двумерных поверхностей и их пространств модулей, либо являются чисто алгебро-геометрическими (как и предусматривает формулировка гипотезы).

Доказательство М. Мирзахани содержится в двух работах 2007 года, составляющих ее диссертацию, и опирается на гиперболическую геометрию. Оно состоит из двух основных частей. Первая часть представляет собой формулу для объема Вейля–Петерссона пространства модулей.

Вторая часть доказательства это рекуррентное соотношение на объемы. По своей природе оно является соотношением топологической рекурсии, получаемой как результат вырезания пар “штанов” из поверхности. Это соотношение – далекое обобщение формулы Г. Макшейна для суммы по простым замкнутым геодезическим на данной поверхности некоторых явных выражений от их длин. Для старшего коэффициента многочлена объема соотношение топологической рекурсии оказывается эквивалентным рекуррентному соотношению КдФ.

Share this post for your friends:
Friend me:

Оставить комментарий

Ваш email не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Вы можете использовать это HTMLтеги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>